Лекция и групповая консультация по математике для обучающихся 9 класса по теме «Преобразование выражений»

• 
  Чтобы умножить число на сумму, надо умножить число на каждое слагаемое, полученные результаты сложить.
  

k (x + y) = k x + k y
Примеры для коллективного решения:

а) 4 · (5 – 3 x)

б) 3 – 2 x) · 3

в) ( 3 y – 5) · 5

г) -2 ( 2a + b – 2)

д) (3 x – 2 – 2 y) · 3,5

е) 9 (2 b + 4 c - 5)

ж) х (х+2)

з) –а² (а³ – 3в)

и) (а² – 4) а

к)(- 3)

• 
  Чтобы привести подобные слагаемые, нужно:
  

сгруппировать эти слагаемые;

сложить их коэффициенты;

умножить полученную сумму на их общую буквенную часть.
Примеры для коллективного решения:
а) 2,3x+7,7y-2,3y+15,3x = 17,6x +5,4y

б) 7х+3у – 3х= 4х+3у

в) 15 а²в – 10а²в +10ав² =5а²в+10ав²

• 
  Чтобы вынести общий множитель за скобки, нужно:
  

1. 
   найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем;
   
2. 
   найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, и выбрать для каждой из них наименьший (из имеющихся) показатель степени.
   

Произведение коэффициента и переменных, найденных

на первом и втором шагах, является общим множителем, который надо вынести за скобки.

Примеры для коллективного решения:

а) 16x ³y – 12x ² = 4x ² • 4xy – 4x ² • 3 = 4x ² (4xy – 3)

б) 8x ²y + 6xy ² = 2xy • 4x + 2xy • 3y = 2xy (4x + 3y)

в) 12аb⁴ - 18а ² b³с = 6а b ³ • 2b - 6а b ³ • 3ас = 6аb³(2b - 3ас)

г) 5а⁴-10а³+15а⁸ = 5а³(а-2 + 3а⁵)

д) 2x ² + 2x = 2x • x + 2x • 1= 2x (x + 1)

е) –х⁴у³- 2х³у²+5х²

ж) 24а⁶в³ – 12а⁴в⁴+18а²в⁵

• 
  Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно:
  

1)Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общие множители в виде многочлена.

2)Вынести этот общий множитель за скобки.
Примеры для коллективного решения:

а) 35a²+7a²b²+5b+b³=(35a²+7a²b²)+(5b+b³)=7a² (5+b²)+b(5+b²)=(7a²+b)(5+b²)

б) 3а+в +6а²+2ав

в) 10b ²a – 15b ² – 8аb + 12b + 6а – 9

г) 15a ² – 13a – 20, (представим слагаемое –13а как – 25а + 12а)

• 
  Умножить многочлен на многочлен - это значит, каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена и полученные одночлены сложить.
  

(a +b) (c+d) = ac + ad +bc +bd

• 
  Формулы сокращённого умножения:
  

Название	Формула
Квадрат суммы	(a+b)2 = a2 +2ab + b2
Квадрат разности	(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Разность квадратов	a2 – b2 = (a – b)(a + b)
Сумма кубов	а3+b3= (a+b)(a2-ab+b2)
Разность кубов	а3-b3= (a-b)(a2+ab+b2)
Куб суммы	(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
Куб разности	(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2- b3

Примеры для коллективного решения:

1. 
   а) (х+7)²
   

б) (5 – 3а)²

в) 9х²-4у²

г) (5х+8) (5х – 8)

д) (х – 2)(х²+2х+4)

е) х³ – 8у³

2.

3.

4.

5. (10 у²+ 3 х)²

2. 
   Преобразование рациональных выражений.
   

• 
  Числитель и знаменатель алгебраической дроби можно разделить
  

на один и тот же многочлен (в частности, на один и тот же одночлен, на

одно и то же, отличное от нуля, число); это — тождественное

преобразование заданной алгебраической дроби, его называют

сокращением алгебраической дроби.

Пример:

Сократить дробь:

Алгебраические дроби перемножаются и возводятся в натуральную степень так же, как и обыкновенные:

• 
  Чтобы умножить одну алгебраическую дробь на другую, надо:
  

перемножить их числители и результат записать в числитель,

перемножить их знаменатели и результат записать в знаменатель.

• 
  Чтобы разделить одну алгебраическую дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй. То есть, деление алгебраических дробей выполняется следующим образом: , где a, b, c и d – некоторые многочлены, причем b, c и d – ненулевые.
  

Примеры для коллективного решения:

1. 
   Выполните умножение алгебраических дробей:
   

2. 
   Выполните деление алгебраических дробей:
   

• 
  Алгоритм сложения (вычитания) алгебраических дробей:
  

1.Привести данные дроби к общему знаменателю.

2.Сложить или вычесть полученные дроби, по правилу для дробей с одинаковым знаменателем.

3. Если возможно, упростить результат.

Примеры:

Выполните действия:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   

• 
  Алгоритм приведения алгебраических дробей к общему знаменателю:
  

1. Разложить все знаменатели на множители.

2. Из первого знаменателя выписать произведение всех его множителей, из остальных знаменателей приписать к этому произведению недостающие множители. Полученное произведение и будет общим (новым) знаменателем.

3. Найти дополнительные множители для каждой из дробей: это будут произведения тех множителей, которые имеются в новом знаменателе, но которых нет в старом знаменателе.

4. Найти для каждой дроби новый числитель: это будет произведение старого числителя и дополнительного множителя.

5. Записать каждую дробь с новым числителем и новым (общим) знаменателем.

Пример:

• 
  Чтобы правильно провести преобразование рациональных выражений, необходимо строго соблюдать порядок действий. Эти правила известны с начальных классов.
  

Сложение и вычитание – действия I ступени, умножение и деление – действия II ступени.

• 
  При нахождении значения выражения действия выполняются
  

в следующем порядке:

1. Если в выражении отсутствуют скобки, и оно включает в себя действия

только одной ступени, то все операции выполняются по порядку

слева на право.

2. Если в выражении отсутствуют скобки, и присутствуют действия

двух ступеней, то в первую очередь выполняются действия второй

ступени, а во вторую действия первой ступени.

Правило слева направо при выполнении действий одинаковой

ступени выполняется.

3. Если выражение содержит скобки, то действия в скобках

выполняются в первую очередь. Остальные действия выполняются

в соответствии с правилами 1 и 2.

Пример:



Решение:

1. 
   
   
2. 
   Ответ:
   

3.Преобразование иррациональных выражений

Выражения с переменными называют иррациональными, если они содержат переменные под знаком корня и/или в основании степени с дробным показателем.

Под преобразованием (упрощением) иррационального выражения понимают приведение его к виду, содержащему меньшее число алгебраических операций над входящими в исходное выражение переменными.

При преобразовании арифметических корней используются их свойства:











Примеры для коллективного решения:

1)Найти значение выражения:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

2) Найти значение выражения:

а) при х0



б) при а0



в) при х0



г) при х0



д) при х-25



е) при 1х2



3) Упростите выражение:

Решение:

1)

2)

3)

4)

5)

Ответ:

Входной тест

1. 
   Разложи на простые множители многочлен: 4 х² – 2 х
   

а) 2 (2х² – 2) б) 2х (2х +1)
в) 2х (2х – 1) г) 4х (х-2)

2. 
   Упрости выражение: ху - 9х – (х - 2ух)
   а) -10 х – ху б) 3 ху – 10 х
   в) 3 ху – 8 х г) -8 х – ху
   
3. 
   Найди значение алгебраической дроби
   при а = 0,2; b=1,8
   а) 1,8 б) -1,8 в) 18 г) -18
   
4. 
   Упрости выражение: , если х › 2
   а) 2 - х б) х – 2 в) 2 х – 1 г) 1 – 2 х
   
5. 
   Упрости выражение:
   а) б) в) г)
   

Ключ

Задание	Ответ
1	В
2	Б
3	Б
4	Б
5	Б

Количество правильных ответов	№ группы (могу)
0-1	«3»
2-3	«4»
4-5	«5»

Практикум группы «3»
1. Вынести общий множитель за скобки:

а) 24 а³с – 3 а²с в) 18 ав²+27а²в д) -ах

б) а³-ас² г) 5х (в+3)-4у(3+в) е) 14+21а

2. Раскрыть скобки:

а) в(3а-в) ж) (х+3у)²

б) -2а(3а-5) з) (у-8)²

в) (2а-1)(4+3а) и) (5-х)(25+10х+х²)

г) (ав+7)(7-ав) к) 7в(в-3)²

д) (8а-с) а² л) 15а(а-3) - 15а²

е) (х²-ху) 9х⁵ м) 8х(х-2) – (х-3)²

3. Привести подобные слагаемые:

а) 7х+9х²+9х

б) 3в+а+5а

в) 8с²-8с³+4с²

г) 12х-7у-2у+3х

д) -13а+8а²+3а-13

е) + -++5

4. Упростить выражение:

а) - д)

б) - 3с е)

в) ж)

г) : з)
5. Упростите выражение и найдите его значение:

а) 2у²+у+3 при у = -

б) при а = 6

в) при х = 2

г) (а²+ав) при а=-1; в = +1

Практикум группы «4»

1. 
   Разложить на множители:
   

а) 1-36а²

б)15 аb² +45 a²b

в) 81x²-1

г) 3x-x²y+xy²-3y

д)4a²-4b²-a+b

е) b²-ab²+ab-b

ж)3a²+8a-3

з)x²+x-42

и)2x²+16y²-24xy

2. 
   Упростить выражение:
   

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л)
Практикум группы «5»

1. 
   Упростить выражение:
   

а)

б)

в)

г)
д)
е)
ж)
з)
и)

к)

2. Разложить на множители:
а)

б)

в)

г)

_{Список литературы:}

Математика: учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007.

Математика. 6 класс : учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008.

Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович. – 11-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2008.

Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович и др.; под ред. А.Г.Мордковича – 10-е изд., перераб. – М. : Мнемозина, 2007.

Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович. – 16-е изд., доп. – М. : Мнемозина, 2013.

Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович и др.; под ред. А.Г.Мордковича – 16-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2013.

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович. – 12-е изд., стер. – М. : Мнемозина, 2010.

Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А.Г.Мордкович и др.; под ред. А.Г.Мордковича – 12-е изд., испр. – М. : Мнемозина, 2010

http://nsportal.ru/

http://school-assistant.ru/?predmet=algebra&theme=preobrazovanie_raz_virazenij http://egemaximum.ru/chislovye-i-bukvennye-irracionalnye-vyrazheniya/